半角公式和二倍角公式大全

时间：2025-05-04 招考资讯

半角公式用于通过某个角（例如∠A）的正弦、余弦、正切等三角函数值来求解其半角的正弦值。而二倍角公式则是通过角α的三角函数值,来表示其二倍角2α的三角函数值。以下将分享半角公式和二倍角公式及其推导过程。

二倍角公式大全

Sin2a = 2Sina * Cosa

Cos2a = Cosa^2 - Sina^2 = 1 - 2Sina^2 = 2Cosa^2 - 1

tan2a = (2tana) / (1 - tana^2)

①正弦二倍角公式：

sin2α = 2cosαsinα

推导：sin2a = sin(a+a) = sinacosa + cosasina = 2sinacosa

拓展公式：sin2a = 2sinacosa = 2tanacosa^2 = 2tana / [1 + tana^2]；1 + sin2a = (sina + cosa)^2

②余弦二倍角公式：

余弦二倍角公式有三种表示形式,且这三种形式等价：

1. Cos2a = Cosa^2 - Sina^2 = [1 - tana^2] / [1 + tana^2]

2. Cos2a = 1 - 2Sina^2

3. Cos2a = 2Cosa^2 - 1

推导：cos2a = cos(a+a) = cosacosa - sinasina = (cosa)^2 - (sina)^2 = 2(cosa)^2 - 1 = 1 - 2(sina)^2

③正切二倍角公式：

tan2α = 2tanα / [1 - (tanα)^2]

推导：tan2a = tan(a+a) = (tana + tana) / (1 - tanatana) = 2tana / [1 - (tana)^2]

sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]

cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]

tan(α/2) = ±√[(1 - cosα) / (1 + cosα)]

已知公式：

sin2α = sin(α+α) = sinαcosα + cosαsinα = 2sinαcosα

cos2α = cos(α+α) = cosαcosα - sinαsinα = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α ①

半角正弦公式：

由等式①,整理得：sin²α = (1 - cosα) / 2

将α/2代入α,整理得：sin²(α/2) = (1 - cosα) / 2

开方,得：sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]

半角余弦公式：

由等式①,整理得：cos2α + 1 = 2cos²α

将α/2代入,整理得：cos²(α/2) = (cosα + 1) / 2

开方,得：cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]

半角正切公式：

tan(α/2) = [sin(α/2)] / [cos(α/2)] = ±√[(1 - cosα) / (1 + cosα)]